层次分析法
模型介绍
通过相互比较确定各准则对于目标的权重, 及各方案 对于每一准则的权重，这些权重在人的思维过程中通 常是定性的, 而在层次分析法中则要给出得到权重的 定量方法.
将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合, 最终确定方案层对目标层的权重.
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构
然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重
最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
解决思路
建立层次结构模型
- 目标层：最终需要实现的目标。
- 准则层：影响目标的主要因素（可以进一步细分为子准则）
- 方案层：可选择的具体方案。
- 画出层级结构图（出现在论文里）
构造判断矩阵
两两比较，依据主观判断(专家鉴定)赋予相对重要性（通常用Satty 1-9标度）。
（判断矩阵一致性：一致矩阵，非一致矩阵一致性检验）
- 1：两个因素同等重要。
- 3：一个因素略微重要于另一个。
- 5：一个因素明显重要于另一个。
- 7：一个因素非常重要于另一个。
- 9：一个因素极端重要于另一个。
- 2, 4, 6, 8：上述相邻标度的中间值。
计算权重
算数平均法、几何平均法、特征值法等等计算得到各准则或各方案的相对权重。
一致性检验
对各准则和各方案进行一致性检验
- 一致性指标：$$CI=\frac{\lambda_{\max}-n}{n-1}$$
一致性指标 （Consistency Index）$$CI$$
CI = 0 表示判断矩阵完全一致，CI 越大，判断矩阵的不一致性程度越严重。
- 一致性比率：$$CR=\frac{CI}{RI}$$，其中 $$RI$$ 是随机一致性指标。
- n = 矩阵的阶数 = 准则层因子个数
- 当 n = 2 时，避免分母为 0 ，可以让 RI = 0.0001
- 若 CR < 0.1，判断矩阵一致性检验通过。
| 矩阵阶数 n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| R.I. | 0 | 0 | 0.58 | 0.90 | 1.12 | 1.24 | 1.32 | 1.41 | 1.45 | 1.49 | 1.51 | 1.54 | 1.56 |
参数解释
| 参数 | 描述 |
|---|---|
| n | 判断矩阵的阶数|准则层因子个数 |
| w | 权重 |
| A | 判断矩阵 |
| CI | 一致性指标 |
| RI | 随机一致性指标 |
| CR | 一致性比率 |
| $$\lambda_{max}$$ | 判断矩阵的最大特征值 |
| $$a_{ij}$$ | 判断矩阵中的重要程度 |
| 特征值 | |
| 特征向量 |
公式分析
权重计算：
- 算术平均法（所有列 的 比例和 求 平均）：$$\omega_i=\frac{(\prod_{j=1}^na_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^n(\prod_{j=1}^na_{kj})^{\frac{1}{n}}}$$
- 依次按列归一化
- 归一化的值求和再平均
- 特征值法：
- 通过一致性检验
- 最大特征值对应的特征向量归一化
- 几何平均法：$$\omega_i=\frac{(\prod_{j=1}^na_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^n(\prod_{j=1}^na_{kj}^{\frac{1}{n}})}$$
- 行累乘
- 开 n 次方
- 按列归一化
- 算数平均法与特征值法求平均
- 算术平均法（所有列 的 比例和 求 平均）：$$\omega_i=\frac{(\prod_{j=1}^na_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^n(\prod_{j=1}^na_{kj})^{\frac{1}{n}}}$$
一致性指标：$$CI=\frac{\lambda_{\max}-n}{n-1}$$
一致性比率：$$CR=\frac{CI}{RI}$$
归一化：$$a_{i}=\frac{a_{i}}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}(i=1,2,3\ldots n)$$
综合权重：$$ w_\text{综合}=w_\text{上层}\times w_\text{当前层}$$ （unknown-from-gpt）