层次分析法

通过相互比较确定各准则对于目标的权重, 及各方案 对于每一准则的权重，这些权重在人的思维过程中通常是定性的, 而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法.

层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。

解决思路

1. 建立层次结构模型

   • 目标层：最终需要实现的目标
   • 准则层：影响目标的主要因素（可以进一步细分为子准则）
   • 方案层：可选择的具体方案
   • 画出层级结构图（出现在论文里）

2. 构造判断矩阵

   两两比较，依据主观判断(专家鉴定)赋予相对重要性（通常用Satty 1-9 标度）。

   （判断矩阵一致性：一致矩阵，非一致矩阵一致性检验）

   • 1：两个因素同等重要
   • 3：一个因素略微重要于另一个
   • 5：一个因素明显重要于另一个
   • 7：一个因素非常重要于另一个
   • 9：一个因素极端重要于另一个
   • 2, 4, 6, 8：上述相邻标度的中间值

3. 计算权重

   算数平均法、几何平均法、特征值法等等计算得到各准则或各方案的相对权重。

4. 一致性检验

   对各准则和各方案进行一致性检验

   1. 一致性指标：$$CI=\frac{\lambda_{\max}-n}{n-1}$$

   • 一致性指标 （Consistency Index）$$CI$$

   • CI = 0 表示判断矩阵完全一致，CI 越大，判断矩阵的不一致性程度越严重。

   2. 一致性比率：$$CR=\frac{CI}{RI}$$，其中 $$RI$$ 是随机一致性指标。
   • n = 矩阵的阶数 = 准则层因子个数
   • 当 n = 2 时，避免分母为 0 ，可以让 RI = 0.0001
   3. 若 CR < 0.1，判断矩阵一致性检验通过。

矩阵阶数 n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
R.I.	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51	1.54	1.56

5. 综合得分计算

   对 ”各准则的权重×各方案的权重“ 求和即为最后得分

6. 选择最优方案

参数解释

参数	描述
n	判断矩阵的阶数|准则层因子个数
w	权重
A	判断矩阵
CI	一致性指标
RI	随机一致性指标
CR	一致性比率
$$\lambda_{max}$$	判断矩阵的最大特征值
$$a_{ij}$$	判断矩阵中的重要程度
	特征值
	特征向量

公式分析

• 权重计算：

  • 算术平均法（所有列 的 比例和 求 平均）：$$\omega_i=\frac{(\prod_{j=1}^na_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^n(\prod_{j=1}^na_{kj})^{\frac{1}{n}}}$$
    1. 依次按列归一化
    2. 归一化的值求和再平均
  • 特征值法：
    1. 通过一致性检验
    2. 最大特征值对应的特征向量归一化
  • 几何平均法：$$\omega_i=\frac{(\prod_{j=1}^na_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^n(\prod_{j=1}^na_{kj}^{\frac{1}{n}})}$$
    1. 行累乘
    2. 开 n 次方
    3. 按列归一化
  • 算数平均法与特征值法求平均

• 一致性指标：$$CI=\frac{\lambda_{\max}-n}{n-1}$$

• 一致性比率：$$CR=\frac{CI}{RI}$$

• 归一化：$$a_{i}=\frac{a_{i}}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}(i=1,2,3\ldots n)$$

• 综合权重：$$ w_\text{综合}=w_\text{上层}\times w_\text{当前层}$$ （unknown-from-gpt）